Algebra relazionale

L’algebra relazionale è una teoria matematica basata sulla teoria degli insieme che permette di eseguire operazioni su relazioni. In questa lezione daremo solo brevi cenni di algebra relazionale che tuttavia sono fondamentali per una buona comprensione del linguaggio SQL il quale può essere vista come un’implementazione “pratica” dell’algebra relazionale.

L’algebra relazionale definisce operazioni che si applicano a relazione, considereremo due tipologie di operazioni:

• operazioni unarie in cui una sola relazione è coinvolta e
• operazioni binarie in cui due relazioni sono coinvolte.

Il risultato di un’operazione nell’algebra relazionale è sempre una relazione.

Durante questa lezione utilizzeremo le seguenti tabelle d’esempio.

Operazioni unarie

Ci occupiamo ora delle due principali operazioni unarie dell’algebra booleana: la selezione e la proiezione.

Operazione di Selezione

L’operazione di selezione (select) permette di selezionare un sottoinsieme di tuple (righe) da un relazione indicando una condizione di selezione. Indichiamo la selezione con la lettera greca \(\sigma\) (sigma minuscolo) mettendo a pedice la condizione.

$$ \sigma_{cond}(R) $$

Ad esempio, volendo selezionare nella relazione Studente solo gli studenti della classe con IdClasse=7 eseguiremo la seguente selezione

$$ \sigma_{\mathsf{IdClasse=7}}(\mathsf{Studente}) $$

Il risultato, nella nostra relazione d’esempio, sarà il seguente.

Operazione di Proiezione

L’operazione di proiezione (projection) permette di selezionare un sottoinsieme di attributi (colonne) da una relazione indicando il nome degli attributi da selezionare. Indichiamo la proiezione con la lettera greca ((\pi)) (pi greco) mettendo a pedice la lista degli attributi da proiettare.

$$ \pi_{att1,att1,\ldots}(R) $$

Ad esempio, volendo proiettare la relazione classe sui solo attributi Classe e Aula, scriveremo la seguente operazione

$$ \pi_{\mathsf{Classe,Aula}}(\mathsf{Classe}) $$

il cui risultato sarà il seguente.

Ovviamente è possibile combinare selezione e proiezione, di fatto questa è l’operazione che viene spesso eseguita. Ad esempio per avere nome e cognome (senza data di nascita) di tutti gli studenti della classe 5B (il cui Id è 7) possiamo combinare selezione e proiezione nel seguente modo.

$$ \pi_{\mathsf{Nome,Cognome}}(\sigma_{\mathsf{IdClasse=7}}(\mathsf{Studente})) $$

Tratteremo SQL in altri moduli, tuttavia è interessante vedere come il linguaggio SQL sia una realizzazione dell’algebra relazionale. Come primo esempio consideriamo le operazioni di selezione e proiezione viste sopra in cui ci interessava vedere nome e cognome degli studente con IdClasse=7, ecco la query SQL per ottenere tale risultato.

SELECT Nome, Cognome
FROM Studente
WHERE IdClasse = 7

Nella parte SELECT vediamo gli attributi da proiettare, FROM indica la relazione da cui prendere gli attributi ed infine WHERE opera la selezione delle tuple sulla base del valore di IdClasse.

Operazioni binarie

Vediamo ora le operazioni binarie di tipo insiemistico unione, intersezione e differenza che pur esistendo nell’algebra relazionale sono raramente utilizzate (anche se risultano fondamentali in alcune query particolarmente complesse). Dedicheremo una sezione a parte all’operazione di join che rappresenta una strumento fondamentale per operare con le relazionali.

Unione

L’unione è l’operazione che prende due relazioni con gli stessi attributi e crea una relazione che è formata da tutte le tuple di una e dell’altra relazione. L’operazione di intersezione si indica con il simbolo \(\cup\)

$$ Q = R \cup S $$

Ad esempio l’unione delle seguenti tabelle

produrrà come risultato la seguente tabella.

Intersezione

L’unione è l’operazione che prende due relazioni con gli stessi attributi e crea una relazione che è formata da tutte le tuple che sono su entrambe le relazioni. L’operazione di intersezione si indica con il simbolo \(\cap\)

$$ Q = R \cap S $$

Nell’esempio sotto l’intersezione delle due relazioni a sinistra produce la relazione di destra.

Differenza

La differenza è l’operazione che prende due relazioni con gli stessi attributi e crea una relazione che è formata da tutte le tuple presenti in una relazione, ma non nell’altra. L’operazione di intersezione si indica con il simbolo \(\setminus\) (a volte con il simbolo \(-\) come la differenza numerica)

$$ Q = R \setminus S $$

Operazione di Join

L’operazione di join è lo strumento fondamentale per operare tra relazioni che sono tra loro collegati mediante chiavi esterne. Nella sua versione più semplice, l’operazione di join prende due relazioni e ne crea una le cui tuple si ottengono concatenando tuple con lo stesso valore per gli attributi di collegamento. Nell’algebra relazionale, l’operazione di join si indica con il simbolo \(\bowtie\) indicando come pedice gli attributi di collegamento.

$$ R \bowtie_{\mathsf{Att1=Att2}} S $$

Ad esempio per creare la relazione di join tra Studente e Classe utilizzando gli attributi Studente.IdClasse e Classe.Id come collegamento indicheremo

$$ \mathsf{Studente} \bowtie_{\mathsf{IdClasse=Id}} \mathsf{Classe} $$

Il risultato sarà la seguente relazione

Una volta ottenuta tale tabella è possibile usare le operazioni di selezione e proiezione. Ad esempio volendo conoscere, nome, cognome e classe degli studenti con data di nascita precedente al 2008 possiamo fare la seguente sequenza di operazioni relazionali:

1. Creiamo la relazione di join $$ \mathsf{JoinRel} = \mathsf{Studente} \bowtie_{\mathsf{IdClasse=Id}} \mathsf{Classe} $$
2. Selezioniamo in base all’anno di nascita $$ \mathsf{SelectedRel} = \sigma_{\mathsf{DataDiNascita<2008}}(\mathsf{JoinRel}) $$
3. Proiettiamo sugli attributi che ci interessano $$ \mathsf{Result} = \pi_{\mathsf{Nome,Cognome,Classe}}(\mathsf{SelectedRel}) $$

Il risultato finale sarà